对卷积的困惑

卷积这个观点，很早以前就学过，但是一贯没有搞懂。
教科书上常日会给出定义，给出很多性子，也会用实例和图形进行阐明，但究竟为什么要这么设计，这么打算，背后的意义是什么，每每语焉不详。
作为一个学物理出身的人，一个公式倘若倘若给不出结合实际的直不雅观的普通的阐明（也便是背后的“物理”意义），就以为少了点什么，以为不是真的懂了。

教科书上一样平常定义函数 f, g 的卷积 f g(n) 如下：

连续形式：

离散形式：

并且也阐明了，先对g函数进行翻转，相称于在数轴上把g函数从右边褶到左边去，也便是卷积的“卷”的由来。

然后再把g函数平移到n，在这个位置对两个函数的对应点相乘，然后相加，这个过程是卷积的“积”的过程。

这个只是从打算的办法上对公式进行理解释，从数学上讲无可挑剔，但进一步追问，为什么要先翻转再平移，这么设计有何用意？还是有点费解。

在知乎，已经很多的热心网友对卷积举了很多形象的例子进行理解释，如卷地毯、丢骰子、打耳光、存钱等等。
读完以为非常生动有趣，但过细想想，还是觉得有些地方还是没阐明清楚，乃至可能还有瑕疵，或者还可以改进（这些后面我会做一些剖析）。

带着问题想了两个晚上，终于以为有些问题想通了，以是就写出来跟网友分享，共同学习提高。
不对的地方欢迎评论拍砖。
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明确一下，这篇文章紧张想阐明两个问题：

1. 卷积这个名词是怎么阐明？“卷”是什么意思？“积”又是什么意思？

2. 卷积背后的意义是什么，该如何阐明？

考虑的运用处景

为了更好地理解这些问题，我们先给出两个范例的运用处景：

1. 旗子暗记剖析

一个输入旗子暗记f(t)，经由一个线性系统（其特色可以用单位冲击相应函数g(t)描述）往后，输出旗子暗记该当是什么？实际上通过卷积运算就可以得到输出旗子暗记。

2. 图像处理

输入一幅图像f(x,y)，经由特定设计的卷积核g(x,y)进行卷积处理往后，输出图像将会得到模糊，边缘强化等各种效果。

对卷积的理解

对卷积这个名词的理解：所谓两个函数的卷积，实质上便是先将一个函数翻转，然后进行滑动叠加。

在连续情形下，叠加指的是对两个函数的乘积求积分，在离散情形下便是加权求和，为大略起见就统一称为叠加。

整体看来是这么个过程：

翻转——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加.....

多次滑动得到的一系列叠加值，构成了卷积函数。

卷积的“卷”，指的的函数的翻转，从 g(t) 变成 g(-t) 的这个过程；同时，“卷”还有滑动的意味在里面（吸取了网友李文清的建议）。
如果把卷积翻译为“褶积”，那么这个“褶”字就只有翻转的含义了。

卷积的“积”，指的是积分/加权求和。

有些文章只强调滑动叠加求和，而没有说函数的翻转，我以为是不全面的；有的文章对“卷”的理解实在是“积”，我以为是张冠李戴。

对卷积的意义的理解：

1. 从“积”的过程可以看到，我们得到的叠加值，是个全局的观点。
以旗子暗记剖析为例，卷积的结果是不仅跟当前时候输入旗子暗记的相应值有关，也跟过去所有时候输入旗子暗记的相应都有关系，考虑了对过去的所有输入的效果的累积。
在图像处理的中，卷积处理的结果，实在便是把每个像素周边的，乃至是全体图像的像素都考虑进来，对当前像素进行某种加权处理。
以是说，“积”是全局观点，或者说是一种“稠浊”，把两个函数在韶光或者空间上进行稠浊。

2. 那为什么要进行“卷”？直接相乘不好吗？我的理解，进行“卷”（翻转）的目的实在是施加一种约束，它指定了在“积”的时候以什么为参照。
在旗子暗记剖析的场景，它指定了在哪个特定时间点的前后进行“积”，在空间剖析的场景，它指定了在哪个位置的周边进行累积处理。

举例解释

下面举几个例子解释为什么要翻转，以及叠加求和的意义。

例1：旗子暗记剖析

如下图所示，输入旗子暗记是 f(t) ，是随韶光变革的。
系统相应函数是 g(t) ，图中的相应函数是随韶光指数低落的，它的物理意义是说：如果在 t=0 的时候有一个输入，那么随着韶光的流逝，这个输入将不断衰减。
换言之，到了 t=T时候，原来在 t=0 时候的输入f(0)的值将衰减为f(0)g(T)。

考虑到旗子暗记是连续输入的，也便是说，每个时候都有新的旗子暗记进来，以是，终极输出的是所有之前输入旗子暗记的累积效果。
如下图所示，在T=10时候，输出结果跟图中带标记的区域整体有关。
个中，f(10)由于是刚输入的，以是其输出结果该当是f(10)g(0)，而时候t=9的输入f(9)，只经由了1个韶光单位的衰减，以是产生的输出该当是 f(9)g(1)，如此类推，即图中虚线所描述的关系。
这些对应点相乘然后累加，便是T=10时候的输出旗子暗记值，这个结果也是f和g两个函数在T=10时候的卷积值。

显然，上面的对应关系看上去比较丢脸，是拧着的，以是，我们把g函数折半一下，变成了g(-t)，这样就好看一些了。
看到了吗？这便是为什么卷积要“卷”，要翻转的缘故原由，这是从它的物理意义中给出的。

上图虽然没有拧着，已经顺过来了，但看上去还有点错位，以是再进一步平移T个单位，便是下图。
它便是本文开始给出的卷积定义的一种图形的表述：

以是，在以上打算T时候的卷积时，要坚持的约束便是：t+ (T-t) = T 。
这种约束的意义，大家可以自己体会。

例2：丢骰子

在本问题 如何普通易懂地阐明卷积？中排名第一的马同学在中举了一个很好的例子（下面的一些图摘自马同学的文章，在此表示感谢），用丢骰子解释了卷积的运用。

要办理的问题是：有两枚骰子，把它们都抛出去，两枚骰子点数加起来为4的概率是多少?

剖析一下，两枚骰子点数加起来为4的情形有三种情形：1+3=4， 2+2=4, 3+1=4

因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为：

写成卷积的办法便是：

在这里我想进一步用上面的翻转滑动叠加的逻辑进行阐明。

首先，由于两个骰子的点数和是4，为了知足这个约束条件，我们还是把函数 g 翻转一下，然后阴影区域高下对应的数相乘，然后累加，相称于求自变量为4的卷积值，如下图所示：

进一步，如此翻转往后，可以方便地进行推广去求两个骰子点数和为 n 时的概率，为f 和 g的卷积 fg(n)，如下图所示：

由上图可以看到，函数 g 的滑动，带来的是点数和的增大。
这个例子中对f和g的约束条件便是点数和，它也是卷积函数的自变量。
有兴趣还可以算算，如果骰子的每个点数涌现的概率是均等的，那么两个骰子的点数和n=7的时候，概率最大。

例3：图像处理

还是引用知乎问题 如何普通易懂地阐明卷积？中马同学的例子。
图像可以表示为矩阵形式（下图摘自马同学的文章）：

对图像的处理函数（如平滑，或者边缘提取），也可以用一个g矩阵来表示，如：

把稳，我们在处理平面空间的问题，已经是二维函数了，相称于：

那么函数f和g的在（u，v）处的卷积该如何打算呢？

首先我们在原始图像矩阵中取出（u,v）处的矩阵：

然后将图像处理矩阵翻转（这个翻转有点意思，不是延x轴和y轴两个方向翻转，而是沿右上到左下的对角线翻转，这是为了凑后面的内积公式。
），如下：

可比拟下图：

打算卷积时，就可以用和的内积：

请把稳，以上公式有一个特点，做乘法的两个对应变量a,b的下标之和都是（u,v），其目的是对这种加权求和进行一种约束。
这也是为什么要将矩阵g进行翻转的缘故原由。
以上矩阵下标之以是那么写，并且进行了翻转，是为了让大家更清楚地看到跟卷积的关系。
这样做的好处是便于推广，也便于理解其物理意义。
实际在打算的时候，都是用翻转往后的矩阵，直接求矩阵内积就可以了。
以上打算的是（u,v）处的卷积，延x轴或者y轴滑动，就可以求出图像中各个位置的卷积，其输出结果是处理往后的图像（即经由平滑、边缘提取等各种处理的图像）。

再深入思考一下，在算图像卷积的时候，我们是直接在原始图像矩阵中取了（u,v）处的矩阵，为什么要取这个位置的矩阵，实质上实在是为了知足以上的约束。
由于我们要算（u，v）处的卷积，而g矩阵是3x3的矩阵，要知足下标跟这个3x3矩阵的和是（u,v），只能是取原始图像中以（u，v）为中央的这个3x3矩阵，即图中的阴影区域的矩阵。

推而广之，如果如果g矩阵不是3x3，而是6x6，那我们就要在原始图像中取以（u，v）为中央的6x6矩阵进行打算。
由此可见，这种卷积便是把原始图像中的相邻像素都考虑进来，进行稠浊。
相邻的区域范围取决于g矩阵的维度，维度越大，涉及的周边像素越多。
而矩阵的设计，则决定了这种稠浊输出的图像跟原始图像比，究竟是模糊了，还是更锐利了。

比如说，如下图像处理矩阵将使得图像变得更为平滑，显得更模糊，由于它联合周边像素进行了均匀处理：

而如下图像处理矩阵将使得像素值变革明显的地方更为明显，强化边缘，而变革平缓的地方没有影响，达到提取边缘的目的：

对一些阐明的不同见地

上面一些对卷积的形象阐明，如知乎问题 卷积为什么叫「卷」积？中荆哲以及问题 如何普通易懂地阐明卷积？中马同学等人提出的如下比喻：

实在图中“卷”的方向，是沿该方向进行积分求和的方向，并无翻转之意。
因此，这种阐明，并没有完全描述卷积的含义，对“卷”的理解值得商榷。

一些参考资料

《数字旗子暗记处理（第二版）》程乾生，北京大学出版社

《旗子暗记与系统引论》 郑君里，应启珩，杨为理，高档教诲出版社

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