洛特菲·扎德（Lofti Zadeh）

不愿定性是每个人生活中不可避免的组成部分。
清晨，景象预报见告我们，晚上有30%的可能性会降雨。
报纸上商业版的报告说，社区的住房抵押品赎回危急在改进之前有50%的机会变得更糟。
年夜夫见告你，如果你连续暴饮暴食，不运动，将很难长命百岁。
当然，如果人工智能系统要具备健壮性，那么它们必须具备应对这些不愿定性的能力。

模糊逻辑和概率论是两种常常利用的工具。
模糊逻辑将先前非黑即白的事宜分配了灰度级别。
例如，不才雨的时候，新车上的牵引力掌握系统（见图1.0）该当发挥浸染。
假设一开始只是毛毛雨，然后雨势逐渐增大到一定程度，模糊逻辑供应了应对这些不愿定性所需的理论根本。

图1.0　大多数当代汽车配备了牵引力掌握系统，这些系统在不同降水条件下可以发挥浸染。
这些系统利用模糊

你想买一辆新车，但是缺少资金，于是你申请银行贷款。
银行的贷款职员想知道你的一些信息，包括储蓄账户的余额、年收入、屋子的剩余抵押贷款（或是月付租金）、信用记录和其他财务状况。
基本上，银行会基于你目前的情形确定你偿还贷款的可能性。
概率常日用于结果得不到完备预测的情形。

模糊集

假设导师哀求，如果你是男性，请举起手，然后哀求你放下手。
接下来，导师哀求，如果你是女性，请举起手。
毫无疑问，班上的每个学生都举手一次，并且仅有一次。
如下列的凑集：

M = {x | x是你班上的男学生}F = {y | y是你班上的女学生}

这是一个明确集的例子，由于班上的每个学生属于并且仅属于一个凑集。
这两个凑集的交集是空集，如M∩F =，意味着没有元素是两个凑集的共同成员。

接着想象一下，班上的每个人都有事情。
现在，导师哀求，如果你对事情感到满意，请举手。
然后他说，如果你对事情不满意，请举手。
有几个人可能会举两次手。
[1] 在每种情形下，一些人可能仅仅由于一些缘故原由而举手。
由于大多数人不是完备满意或不满意自己的事情，以是事情满意度可以被认为是一个模糊的观点。
另一个例子是停车场中的停车位（图8.1）。
我们常常创造，人们可能出于某种情由匆忙、随意地停放汽车，以至于汽车占了两个相邻的不同停车位。

图1.1　一辆汽车停放在两个不同的停车位

Lotfi Zadeh[2]提出了模糊逻辑。
令X = {x1，x2，x3，…，xn}为有限集，A是X的一个子集，写成A⊆X，并且A中的元素只有x2；然后A可以由维度为n的从属度向量表示：

Z(A) = {0, 1, 0, …, 0}

每当xi即是1时，则xi是凑集A的元素。
包含x2和x3的X子集B可以表示为：

Z(B) = {0, 1, 1, …, 0}

其他明确子集（有2n−2个）可以用类似的方法表示。

考虑下面的模糊集C：

Z(C) = {0, 0.5, 0, …, 0}

在古典（明确）的凑集理论中，这是不可能涌现的情景。
x2是否属于C？在模糊凑集理论中，元素x2在一定程度上属于凑集C。
[3] 这种从属度程度由区间[0,1]中的某个实数表示。

模糊凑集的另一个例子是所有高个子人的凑集。
如果你不雅观看了2008年北京奥运会的开幕式，那么你可能看到了身高2.31m的篮球明星姚明，他为中国运动员方阵举旗。
他阁下的是小学生林浩，在2008年5月汶川地震发生后，他帮助抢救在瓦砾中的同班同学。
没有人对姚明身材较高而林浩身材较矮有争议。

对付那些身高1.78m的人而言，我们该当说些什么呢？嗯，你可以说，在某种程度上，他们的身高算高的了。

我们认为“身高”是一个“模糊观点”。
为了在模糊凑集中表示从属度，我们可以绘制一个从属函数，如图1.2所示。

图1.2　身材高大人凑集的从属函数

一个身高约1.53m（或更低）的人不是身材高大人凑集的成员。
在这个凑集中，一个身高约1.83m的人，其从属度可能为0.65，我们将其表示为μt（6'）= 0.65，个中μt()是该凑集的从属度函数。
我们当然赞许μt（7'6\公众）= 1.0，即姚明白定有资格完备从属于这个凑集。

令X为一个经典的全集。

实数函数μA：X→[0,1]是凑集A的从属函数。
所有（x，μA（x））对的凑集定义了X的模糊子集A。

从属函数完备指定一个模糊集。
属于X的所有元素x的凑集被称为模糊集A的支持集。
个中（x，μA（x））属于A，μA（x）> 0。
对付所有身材高大人的凑集t（见图8.2），支持集由5英尺高或身材更高的所有人组成。
如果A是具有有限支持集的凑集{ a1，a2，…，am}，那么这就可以表示为：

A = μ1 / a1 + μ2 / a2 + … + μm / am　

个中μi=μA（ai），i = 1，…，m。
把稳，“/”和“+”符号用作分隔符，不进行除法或加法运算。
例如，如果X = {x1，x2，x3}，A和B是两个（明确）子集：A = {x1，x3}和B = {x2，x3}，那么这些凑集可以表示为：

A = 1 / x1 + 0 / x2 + 1 / x3B = 0 / x1 + 1 / x2 + 1 / x3

凑集A和B的并表示为A∪B，这是属于A或B（或两者）中的所有元素的凑集。
A∪B可以通过取每个xi在任意凑集中的最大从属度打算得到，例如，A∪B= 1 / x1 + 1 / x2 + 1 / x3。
这种方法很随意马虎推广到模糊凑集的情形。
例如，如果：

C = 0.2 / x1 + 0.5 / x2 + 0.8 / x3D = 0.6 / x1 + 0.4 / x2 + 0.2 / x3

那么C与D的模糊并集是：

C∪D = 0.6 / x1 + 0.5 / x2 + 0.8 / x3

两个凑集的模糊交集定义为取每个元素最小从属度，而不是最大从属度。
因此，对付前面的例子：

C∩D = 0.2 / x1 + 0.4 / x2 + 0.2 / x3

明确集E的补集（即Ec），是在全集（本例为X）中所有不在E凑集中的元素的凑集。
补集Ec的打算如下（个中E是模糊凑集）：

μEc (x) = 1 − μE (x),∀x∈X

例如，如果E是模糊子集，则

E = 0.3 / x1 + 0.1 / x2 + 0.9 / x3

那么E的补集就即是：

Ec = 0.7 / x1 + 0.9 / x2 + 0.1 / x3

把稳，一样平常来说，当A是一个模糊凑集时，A与其补集的并集不即是全集，A与其补集的交集也不为空集，这与明确集的行为不一样。
对付模糊凑集E，有：

E∪Ec = 0.7 / x1 + 0.9 / x2 + 0.9 / x3E∩Ec = 0.3 / x1 + 0.1 / x2 + 0.1 / x3

如我们所看到的，生活不是非黑即白，也有许多灰色区域。
例如，人到了几岁才被认为是成熟了？在美国，年满18岁就可以从军；但是在纽约州的酒吧点酒，你必须年满21岁。
要竞选总统，你必须年满35岁。
我们认为成熟是一个模糊的观点。
在许多当代运用的掌握中，从数码相机到洗衣机，模糊逻辑已经实现了广泛的运用。

-END-

✬如果你喜好这篇文章，欢迎分享到朋友圈✬