现在回到一般游戏的谈论上。
策梅洛定理适用于被称为完备信息博弈的一类游戏。
所谓完备信息博弈，指的是游戏的所有信息都是公开的，游戏双方都能清楚理解到目前游戏所处的状态信息，并且游戏的每一步都不涉及概率成分。
这个条件把扑克、翱翔棋、暗棋和翻棋玩法下的军棋都打消掉了。
然后，我们还须要这个游戏能在有限步内结束，并且，游戏的结局要么是平局要么有一方是胜者。
很明显，围棋是属于完备信息博弈的。
至于象棋，有可能会进入循环状态从而全体游戏没完没了。
为了避免这一点，我们可以加入一些新规则使得象棋不会涌现循环，比如，设定一个很大的数N，只要连续N步双方都没有被吃掉棋子就判为和棋，或者不许可超过N次进入同一种棋子状态，否则判为和棋。
加入这些规则或者类似的规则之后，象棋就知足哀求了。

下面给出策梅洛定理的严格表述：在双人完备信息博弈下，只有三种情形：要么先手具有必胜策略，要么夹帐具有必胜策略，要么双方的最优策略会导致平局。
比如前面所说的Chop游戏，当m≠n时，先手玩家具有必胜策略；如果m=n，夹帐玩家具有必胜策略。
Chop游戏没有平局。
策梅洛定理是一个结论很强的定理，下面我们会创造，它的证明非常大略，不须要用到很博识的知识。

为了证明策梅洛定理，我们须要引入一个小小的观点：游戏树。
在游戏的每一步，玩家有很多种走法，每一个走法都会产生新的分支，把两位玩家的所有可能走法考虑进来，就会得到一个树状构造。
这个树状构造穷尽了游戏过程的所有可能性。
下图是Chop游戏在1×4情形下的游戏树。
在本文，我们用(1,0)表示先手得胜，(0,1)表示夹帐得胜，(0,0)表示平局。

在游戏树上，节点会标注上游戏状态，比如上图中的方格。
有时候为了信息完备，还会标注上在此节点轮到哪位玩家操作了。
由于我们把游戏循环往来来往的可能性打消了，游戏状态转移图不会涌现圈图，以是一定是树图。
(对付象棋，如果用A表示棋子状态，加上了前文所述的个中一个规则后，全体游戏状态将由(A, i)表示，个中i表示已经连续i步双方都没有被吃掉棋子或者已经i次进入棋子状态A了。
在这样的表示下，当i不即是j时，(A, i)和(A, j)哪怕棋子状态都是A，但是依然代表不同的游戏状态。
于是，象棋的游戏转移也不会涌现圈图。
)

接下来，我们假设每一位玩家都是理智的，当玩家处于游戏树的某个节点时，她/他一定会选择对其最有利的走法。
如果现在游戏状态来到了倒数第二步，再走一步游戏将结束了，那么我们就会看到游戏树的末端，大概是如下图这样的，个中省略号表示未画出的末端节点

在上图的游戏树中，如果在A处轮到先手玩家操作了，那么她/他一定会选择走向B。
走向C和D对先手玩家来说都不是最优走法。
于是，A虽然不是末端节点，但是它依然可以带有胜负信息(1,0)，这个胜负信息表示先手方在A处只要按最优策略走就会得胜。
当然，上图只是一个例子，有可能末端节点都不是(1,0)状态的，这时候对先手玩家来说最优策略便是走到平局状态(如果有平局末端的话)，这样A节点将会带有(0,0)的胜负信息。
如果是最坏情形，节点A下的所有末端节点都对应(0,1)的胜负，那么在A处无论先手玩家怎么走都必输，于是节点A带有的胜负信息是(0,1)。
如果我们给胜负引入大小关系：(1,0)>(0,0)>(0,1)，那么前述得到A的胜负信息的剖析可以总结为：轮到先手方操作，A节点的胜负=A的下一级节点的胜负最大值。
另一方面，如果在A处轮到夹帐玩家操作了，我们也可以通过类似的剖析得到A处的胜负信息，只不过最大值要换成最小值：轮到夹帐方操作，A节点的胜负=A的下一级节点的胜负最小值。

得到了A处的胜负信息之后，我们就可以忽略A下面的所有节点了，这时候A就成了一个末端节点，它带有相应的胜负信息，这个胜负信息表示从该节点出发，两位玩家都利用最优策略后会导致的胜负结局。
这个操作可以连续进行下去，不断得到上一级节点的胜负信息，然后忽略掉旧的末端节点。
如此往来来往，由于树是有限高的，终极我们会得到游戏一开始那个节点(术语叫根节点)的胜负信息。
如果根节点的胜负信息是(1,0)，那么意味着先手玩家只要按最优策略走下去就会必胜；如果根节点的胜负信息是(0,1)，那么意味着夹帐玩家具有必胜策略；如果根节点的胜负信息是(0,0)，那么意味着双方的最优策略会导致平局。
至此，策梅洛定理证明完毕。

从下往上的胜负信息推导

想必读者已经跃跃欲试了，如果知道了象棋或者围棋的最优策略，岂不是在棋坛上横着走？可惜的是，虽然策梅洛定理的证明是布局性的，但是布局过程须要我们先得到全体游戏树，而像围棋这类棋，游戏的路径(指从根节点到末端节点的一条路径)比宇宙的原子数目还要多，要想通过全体游戏树来得到最优策略是不可能的了。
如此说来，策梅洛定理仅仅给必胜或者平局策略供应了存在性。
不过，借助策梅洛定理所供应的存在性，我们可以利用被称为策略盗取的方法证明在某些游戏上夹帐不存在必胜策略，换言之，先手有不败策略。

本文将以著名的五子棋为例先容策略盗取是怎么一回事。
很明显，五子棋知足策梅洛定理的条件，于是有且仅有三种可能性：先手具有必胜策略、夹帐具有必胜策略、双方的最优策略会导致平局。
接下来我们利用反证法。
如果夹帐具有必胜策略，我们把这个策略称为S。
这时候无论先手玩家怎么走，夹帐玩家只要利用策略S，先手玩家必输。

策略盗取的要点便是把对方的策略“盗取”过来。
先手玩家先在棋盘上随便放一个棋子，位置记为P1，然后假装这个棋子不存在。
这时候轮到夹帐玩家放子了，由于假装P1上的棋子不存在，夹帐玩家成了“先手”，而先手玩家成了“夹帐”，于是先手玩家可以利用必胜策略S。
根据这个策略的必胜性子，无论对方怎么走，“夹帐”玩家(也便是先手玩家)都将得胜。
不过，事情彷佛没那么大略。
我们只是假装P1上的棋子不存在而已，实际上这个棋子是存在的。
P1位置上的棋子会怎么影响到策略S的利用呢？如果走到了某一步，策略S哀求“夹帐”玩家将棋子放在P1位置，这时候P1已经存在“夹帐”玩家的棋子了，但是游戏哀求玩家每一步都不能不下棋子，此时“夹帐”玩家可以在这一步把棋子下在其他的任意位置，记为P2。
这样的话P1和P2都霸占了“夹帐”玩家的棋子，这就等价于游戏一开始“夹帐”玩家将棋子下在了P2，并且在目前这一轮“夹帐”玩家根据策略S的哀求把棋子下在了P1位置。
如果接下来策略哀求棋子下在P2，那么“夹帐”玩家可以任意把棋子下在P3位置……如此类推，先手玩家可以完美利用策略S，于是会必胜。
这和反证法的假设相抵牾。
于是，五子棋只能存在两种情形：先手具有必胜策略、双方的最优策略会导致平局。
或者更简洁地表述为，先手具有不败策略。

回顾前述关于五子棋的谈论，这个“五”字完备没有表示出来，我们完备可以把干系结论推广到四子棋、六子棋等等。
特殊地，井字棋实质上是一种三子棋，由于它的游戏树很大略，我们乃至可以通过穷举法证明在井字棋上确实是先手玩家具有不败策略。